Коэффициенты квадратного уравнения на графике

Коэффициенты квадратного уравнения на графике

Квадратичная функция — функция вида:

В уравнении квадратичной функции:

a –старший коэффициент

b – второй коэффициент

с свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные.

Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y отрицательные, а вторая часть – в I V четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.

y(x) 0, при x ∈ (-∞;0) ∪ (0;+∞)

Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция убывает.

1) Область определения функции:

2)Область значения функции:

3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

4)Y(x)=x 2 — четная функция(т.к.f(-x)=x 2 =(-x) 2 =f(x) ).

График симметричен относительно оси oY .

5) Ограниченность функции:

Если a>0, функция ограничена снизу.

Если a , функция ограничена сверху.

6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)

Перемещение параболы y(x)=x 2

Если добавить константу d (где d любое число), в качестве слагаемого к X , то произойдет перемещение параболыпо оси (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:

Если d >0 ( y(x)=(x+d) 2 ) , то график функции передвигается по оси oX влево.

Для примера возьмем уравнение y=(x+2) 2

Если d 2 ) , то график функции передвигается по оси oX вправо.

Для примера возьмем уравнение y=(x-2) 2

Если добавить константу c(где cлюбое число) к X 2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

В таком случае уравнением функции станет:

Если c >0 ( y(x)=(x) 2 +c ), то график функции передвигается по оси oY вверх .

Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 +2

Если c y(x)=(x) 2 -c ), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 -3

Дискриминант и нахождение корней

1) 1) Если D>0 то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 2 решения, уравнение y=ax 2 +bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

2) Если D=0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax 2 +bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

3) Если D 2 +bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax 2 +bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:

Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

Точка пересечения с осью oY

Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c.

Читайте также:  Как начать переписываться с момо

Алгоритм построения квадратичной параболы

1) Направление ветвей.

2) Координаты вершины параболы.

3) Корни дискриминанта.

4) Дополнительные точки.

5) Построение графика.

Построим функцию y=x 2 -6x+15

В квадратичном трехчлене x 2 -6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

Выразим квадрат разности: x 2 -6x+15=(x 2 -6x+9)+6,

Соберем формулу: (x 2 -6x+9)+6=(x-3) 2 +6,

У нас получилась функция y=(x-3) 2 +6,

Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x-3) 2 +6 будет выглядеть таким образом:

Построим функцию y=x 2 +8x+17

В квадратичном трехчлене x 2 +8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

Выразим квадрат разности: x 2 +8x+17=(x 2 +8x+16)+1,

Соберем формулу: (x 2 +8x+16)+1=(x+4) 2 +1,

У нас получилась функция y=(x+4) 2 +1,

Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x+4) 2 +1 будет выглядеть таким образом:

Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

2) Соберем, получившуюся формулу;

3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

4) Построим график.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция. Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция , это значит что каждому допустимому значению переменной (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции отрицательные значения аргумента – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой ).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Квадратичная функция. Понятие

Квадратичная функция — это функция вида , где , и ­– любые числа (они и называются коэффициентами). Число называют старшим или первым коэффициентом такой функции, – вторым коэффициентом, а – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Читайте также:  Как убрать зеркальное отражение на фронтальной камере

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения и область значений .

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции ? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции – в нее нельзя подставить ).

Значит, область определения – все действительные числа:

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию , чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю. Значит, эта функция всегда не меньше нуля. А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше. Таким образом, можем написать для .

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

Квадратичная функция. График

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.

Построение графика квадратичной функции:

Начнем с простейшей квадратичной функции – .

Составим таблицу значений:

x -2 -1 1 2
y 4 1 1 4

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: . Составим таблицу значений:

x -2 -1 1 2 3 4
y 5 -3 -4 -3 5

Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку , а ветви переехали вместе с ней. Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида ( , – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если , ветви парабол направлены вниз, а если "displaystyle . А у нижней параболы? Верно, .

Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения. Если не пересекает – корней нет. Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси вершиной:

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при , получим формулу вершины:

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

А теперь порешаем задачки.

Квадратичная функция. Примеры решения задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения , если на рисунке приведен график функции :

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения , если на рисунке приведен график функции :

4. По графику функции определите коэффициенты и :

Читайте также:  The stomping land последняя версия

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, . То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью . Что нам дает эта точка? Вспоминай. Это – свободный член c. Значит, – отбросим вариант a).

Ну что же, осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: . В нашем случае . Тогда:

Итак, наша парабола задается формулой: . Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью . Смотрим: , . Значит, их сумма .

3. То же самое: , . Произведение .

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью . А это ведь корни уравнения . Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен . Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

а произведение – свободному члену:

Ну вот и решили: , .

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция — функция вида , где , и ­– любые числа (коэффициенты), – свободный член.

  • График квадратичной функции — парабола.
  • Вершина параболы: .

Квадратичная функция вида: .

  • Если коэффициент , ветви параболы направлены вниз, если mathbf<0>"> — ветви параболы направлены вверх.
  • Чем больше значение (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше , тем парабола шире.

Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента и дискриминанта .

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью , решив уравнение .

А теперь я хочу услышать тебя.

Ну вот ты и усвоил, что такое квадратичная функция, какой у нее график, и как пользоваться графиком при решении задач.

А в теме «Построение графика квадратичной функции» ты научишься сам быстро строить любые параболы без таблицы (не по точкам, а как это делают взрослые, серьезные люди).

Насколько трудной была для тебя эта тема?

Все ли ты понял?

Есть ли у тебя вопросы или предложения?

Напиши внизу в комментариях. Мы читаем все.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Ответ

Проверено экспертом

От знака коэффициента "а" зависит, куда направлены ветви параболы. Если a>0, то ветви направлены вверх, если a 0 или с 0) или левее ( х(верш)

  • Комментарии
  • Отметить нарушение

Ответ

Общий вид формулы выглядит так: y = ax² ± bx ± c

И когда задают функцию то вместо a , b и с ставят числовые коэффициенты,которые могут быть различны

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector