Кинетическая энергия катящегося диска

Кинетическая энергия катящегося диска

Задачи с объяснениями. Сайт существует, благодаря рекламе Google. Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы

понедельник, 25 марта 2013 г.

Кинетическая энергия однородного диска радиусом 0.2 и массой 5 кг

Кинетическая энергия однородного диска радиусом 0.2 и массой 5 кг вращающегося с угловой скоростью 20 радсек вокруг оси , проходящей через его центр равна?

Важная аналогия для запоминания:

Всем хорошо знакомая формула кинетической энергии поступательного движения тела E=mV²/2 для вращающегося тела выглядит иначе:

Кинетическая энергия вращающегося тела E=Jω²/2,

где E — кинетическая энергия, J — момент инерции, ω — угловая скорость вращения.

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υi=ωri, тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J — момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис ), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

dA = dE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна

(3.25)

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν=720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.

Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения

Читайте также:  Видео проигрыватель на планшет

где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω — ω, причём ω =0 конечная угловая скорость, ω=2πν — начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.

Зная все величины, можно определить тормозящий момент

(2)

Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле

(3)

где β–угловое ускорение.

По условию задачи: ω =ω – βΔt, так как ω=0, ω = βΔt

Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n= 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N= 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.

Момент сил терния М1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения

где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 — момент инерции маховика , ω1= 2πν и ω2= 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков

Тогда

Момент сил трения М2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔEк:

где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.

Тогда , откуда

Отношение будет равно

Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.

Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m1 и m2 (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.

Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m1 и m2 будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m2 > m1 .

Тогда груз m2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему

Первые два уравнения записаны для тел с массами m1 и m2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T1 взят со знаком минус, так как сила T1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I — момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен

где R — радиус цилиндра; β — угловое ускорение цилиндра.

Читайте также:  Как зарядить аккумулятор навигатора

Так как проскальзывания нити нет, то . С учётом выражений для I и β получим:

Складывая уравнения системы, приходим к уравнению

Отсюда находим ускорение a грузов

Далее легко найти T1 и T2 и их отношение

Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.

Пример 2.4. Полый шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В определённый момент на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону . Определить момент приложенной силы.

Решаем задачу, используя основное уравнение динамики вращательного движения . Основная трудность – определить момент инерции полого шара, а угловое ускорение β находим как . Момент инерции I полого шара равен разности моментов инерции шара радиуса R и шара радиуса r:

где ρ — плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара

Отсюда определим плотность материала шара

Для момента силы M получаем следующее выражение:

Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Используем закон сохранения момента импульса

(1)

(Ji-момент инерции стержня относительно оси вращения).

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

По теореме Штейнера

(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а— расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

Пример 2.6. Человек массой m=60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν1=12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν2 будет тогда вращаться платформа.

Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса

Читайте также:  Важные номера телефонов на случай

где — момент инерции системы, когда человек стоит на краю платформы (учли, что момент инерции платформы, равен(R – радиус платформы), момент инерции человека на краю платформы равенmR 2 ).

— момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω1= 2π ν1 и ω1= 2π ν2.

Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка двигалась в течение t 1 =15c со скоростью V 1 =15м/с, t 2 =10c со скоростью V 2 =8м/с и t 3 =6с со скоростью V 3 =20м/с. Чему равна средняя скорость за все время движения?

Дано: t 1 =15c; V 1 =15м/с; t 2 =10c; V 2 =8м/с; t 3 =6с; V 3 =20м/с.

Решение. Средняя скорость V ср = S t , где S=S 1 +S 2 +S 3 =V 1 t 1 +V 2 t 2 +V 3 t 3 , а t=t 1 +t 2 +t 3 .

V ср = V 1 t 1 + V 2 t 2 + V 3 t 3 . t 1 + t 2 + t 3

Ответ: V ср =8,9м/с.

Задача 2. Первую половину пути тело прошло за время t 1 =2c, вторую – за время t 2 =8c. Чему равна средняя скорость на длине пути 20м?

Дано: t 1 =2c; t 2 =8c; S 1 =S 2 =S/2; S=20м.

Решение. Средняя скорость V ср = S t = t 1 + S t 2 .

Ответ: V ср =2,0м/с.

Задача 3. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x 1 =A 1 t+B 1 t 2 +C 1 t 3 и x 2 =A 2 t+B 2 t 2 +C 2 t 3 , где A 1 =4м/с, B 1 =8м/с 2 , C 1 =-16м/с 3 , A 2 =2м/с, B 2 =-4м/с 2 , C 2 =1м/с 3 . В какой момент времени ускорения этих тел

Дано: x 1 =A 1 t+B 1 t 2 +C 1 t 3 ; x 2 =A 2 t+B 2 t 2 +C 2 t 3 ; A 1 =4м/с; B 1 =8м/с 2 ; C 1 =-16м/с 3 ; A 2 =2м/с; B 2 =-4м/с 2 ; C 2 =1м/с 3 .

Решение. Найдем ускорения материальных точек как производные второго порядка от уравнений x(t):

a 1 (t)=x 1 ´´(t)=2B 1 +6C 1 t a 2 (t)=x 2 ´´(t)=2B 2 +6C 2 t.

Приравнивая правые части находим t:

2B 1 +6C 1 t=2B 2 +6C 2 t

Задача 4. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью V 0 =20м/с, остановилась через t=40с. Чему равно значение коэффициента трения шайбы о лед?

Дано: V 0 =20м/с; t=40с.

Решение. Ускорение, с которым движется шайба a=kg. С другой стороны V 0 =at.

Отсюда a = V t 0 или kg = V t 0 k = V gt 0 .

Задача 5. Конькобежец массой m 2 =60кг, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m 1 =5кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью V 2 =1м/с. Чему равна работа, совершенная конькобежцем при бросании гири?

Дано: m 2 =60кг; m 1 =5кг; V 2 =1м/с.

Решение. Используя закон сохранения импульса найдем скорость гири V 1 :

m 2 V 2 . V 1 = 60 * 1 = 12 м/с . Работа, совершенная конькобежцем, m 1 5

равна сумме кинетических энергий, приобретенных конькобежцем и гирей:

Ссылка на основную публикацию
Карта с определением координат широты и долготы
Онлайн сервис определения координат на карте России. Удобный поиск GPS координат (широта, долгота) по адресу в России, определение местоположения по...
Какие российские платежные системы
Международных платежных систем не так много. Но они дополняют друг друга. А благодаря своей универсальности их сервис позволяет переводить деньги...
Какие самсунги поддерживают беспроводную зарядку
Обращаем Ваше внимание на то, что данный интернет-сайт и его содержимое носят исключительно информационный характер и ни при каких условиях...
Карта судов в порту находка
Автоматический поиск расположения судна в море основывается на данных поступающих с АИС. Текущее положение судна, отбытие из порта и прибытие...
Adblock detector