Касательная к эллипсу проходящая через точку

Касательная к эллипсу проходящая через точку

Следовательно твоя касательная должна проходить и через точку Р и быть касательной к эллипсу. С другой стороны точка касания принадлежит самому эллипсу. Решаешь полученную систему и получаешь два значения точек касания. Затем зная координаты точки касания и координаты точки Р, находишь уравнение касательных.

Система содержащая уравнение эллипса и общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку имеет только одно решение. Следовательно решив систему относительно углового ткоэффициента и свободного члена уравнения прямой находишь два уравнения касательных.

2005-2006 Учебный физико-математический студенческий центр

Легкое решение задач по математике и физике! #4

Здравствуйте, уважаемые наши подписчики!

В прошлый раз мы с Вами решили три очень простые задачи по аналитической геометрии.

Сегодня мы с Вами рассмотрим более сложные задачи.

Итак, представляю Вам четвёртый выпуск рассылки.

Задача 1.
Написать уравнение касательных к эллипсу x 2 /16+ y 2 /9 = 1 , параллельных прямой x + y = 1 .

Решение:
выразим из уравнения эллипса y :

производная по y :

y ‘ = ± 3 x/ V (256-16 x 2 )

Пусть касательные проходят через точку (X, Y) . По условию задачи y ‘ ( X ) =-1 :
-1= — 3 x/ V (256-16 x 2 )

x =16/5 → y =9/5 → y = -x +5

x =-16/5 → y =-9/5 → y = -x -5

Ответ: две касательных: y = -x ± 5,

Задача 2.
Написать уравнение касательных к гиперболе x 2 — y 2 /4 = 1 , проведённых из точки M( 1 , 4 ).

выразим из уравнения гиперболы y :

производная по y :
y ‘ = ± 2 x/ V ( x 2 — 1)

уравнения касательных к гиперболе в точке:

y — Y0 = ± 2 ( x — X ) X / V ( X 2 — 1) → y 2 ( X 2 — 1 ) = 4( x X — 1 ) 2

подставляя координаты точки из условия M( 1 , 4 ), получим:
16 X 2 -16 =4 X 2 -8 X +4 → X =(-2 ± 6)/6

1) X =1 — для этого значения угол наклона касательной равен ∞:
x =1 — уравнение касательной.

2) X =-5/3 → Y = ±8/3
получим две касательных: y= ±5/2( x+5/3 ) ±8/3
из этих двух касательных только одна проходит через точку M( 1 , 4 ):
y= 5/2 x+3/2 — уравнение касательной.

Читайте также:  Какая самая популярная игра в роблоксе

Помогите пожалуйста найти ошибку

Составить уравнения касательных, проведенных из точки $%A(-6;3)$% к эллипсу $%frac<15>+frac<9>=1$%

задан 26 Фев ’16 23:24

Koval
103 ● 1 ● 8 ● 20
82&#037 принятых

Можно ещё делать так: записать уравнение касательной как y=k(x+6)+3 с неизвестным угловым коэффициентом и подставить y в уравнение эллипса. Получится квадратное уравнение относительно x, дискриминант которого должен быть равен нулю. Отсюда находим два значения k. Это 0 и -12/7.

@Koval: я имел в виду пятую строку. Там дроби делятся на дроби. Я Вам посоветовал умножить на 225 это равенство, чтобы оно упростилось, и чтобы Вы в нём, наконец, нашли арифметическую ошибку. За это время (прошло уже много часов) можно было просто сделать то, что я говорю, и тогда бы всё встало на места.

@Koval: и правильно, что смущает — хотя точки касания найдены верно, дальше выписаны какие-то совсем не те равенства. Скажем, y=0 разрезает эллипс пополам, и касательной не является просто никак.

@Koval: и я этого тоже не понимаю, так как там рассмотрены какие-то странные равенства с дробями, а потом вдруг ниоткуда возникает уравнение прямой. Поскольку происхождение неясно, то трудно указать на ошибку. Я бы вообще решал по-другому, чтобы всё было "прозрачно". К тому же у Вас там есть опечатки.

2 ответа

Уравнения касательных по-прежнему составлены неверно, поэтому изложу свой способ решения.

Прямые, проходящие через точку $%A$%, задаются уравнениями вида $%y=k(x+6)+3$%, где $%k$% — угловой коэффициент. Есть также прямая $%x=-6$%, но она касательной явно не будет.

Подставим в уравнение эллипса $%3x^2+5y^2=45$% это выражение, и найдём, при каких значениях $%k$% точка пересечения будет одна. Получится $%3x^2+5(kx+6k+3)^2-45=0$%, то есть $%(5k^2+3)x^2+30k(2k+1)x+180k^2+180k=0$%. Рассмотрим приведённый дискриминант и приравняем его к нулю: $%D/4=225k^2(4k^2+4k+1)-180(k^2+k)(5k^2+3)=0$%. Для упрощения вычислений удобно сократить на $%45$%. Это даёт $%5k^2(4k^2+4k+1)-4(5k^4+5k^3+3k^2+3k)=0$%, то есть $%-k(7k+12)=0$%. Отсюда $%k=0$% или $%k=-frac<12>7$%, что даёт уравнения касательных $%y=3$% и $%y=-frac<12>7(x+6)+3=-frac<12>7x-frac<51>7$%.

Читайте также:  Как проверить скорость интернета вай фай роутера

отвечен 29 Фев ’16 23:37

falcao
246k ● 1 ● 35 ● 48

Второе уравнение системы должно быть уравнением касательной, которое имеет вид $$ frac+frac=1 $$ То есть у Вас написаны квадраты лишние.

отвечен 27 Фев ’16 0:09

@all_exist это я опечаталась я в квадрат не возводила дальше это видно

Ссылка на основную публикацию
Карта с определением координат широты и долготы
Онлайн сервис определения координат на карте России. Удобный поиск GPS координат (широта, долгота) по адресу в России, определение местоположения по...
Какие российские платежные системы
Международных платежных систем не так много. Но они дополняют друг друга. А благодаря своей универсальности их сервис позволяет переводить деньги...
Какие самсунги поддерживают беспроводную зарядку
Обращаем Ваше внимание на то, что данный интернет-сайт и его содержимое носят исключительно информационный характер и ни при каких условиях...
Карта судов в порту находка
Автоматический поиск расположения судна в море основывается на данных поступающих с АИС. Текущее положение судна, отбытие из порта и прибытие...
Adblock detector