Как сделать по геометрии трапецию

Как сделать по геометрии трапецию

Знание — сила. Познавательная информация

Как решать задачи с трапецией

Чтобы понять, как решать задачи с трапецией, полезно запомнить три основных пути решения.

I. Провести две высоты.

Ia. Четырехугольник BCKF — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, FK=BC.

AD=AF+FK+KD, отсюда AD=AF+BC+KD.

Треугольники ABF и DCK — прямоугольные.

(Следует учесть и другой вариант:

Ib.

В этом случае AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)

Ic. Если трапеция равнобедренная, решение задачи упрощается:

В этом случае прямоугольные треугольники ABF и DCK равны, например, по катету и гипотенузе (AB=CD по условию, BF=CK как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Провести прямую, параллельную боковой стороне.

IIa. BM ∥ CD. Так как BC ∥ AD (как основания трапеции), то BCDM — параллелограмм. Следовательно, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.

IIb. В частности, для равнобедренной трапеции

BM ∥ CD. Так как CD=AB, то и BM=AB. То есть получаем равнобедренный треугольник ABM и параллелограмм BCDM.

III. Продолжить боковые стороны и получить треугольник.

Прямые AB и CD пересекаются в точке P.

Треугольники APD и BPC подобны по двум углам (угол P — общий, ∠ PAD= ∠ PBC как соответственные при BC ∥ AD и секущей AP).

Следовательно, их стороны пропорциональны:

Эти три подхода к решению задач на трапецию — основные. Помимо них, существует много других способов. Некоторые рассмотрены на этом сайте. Например, здесь — как решать задачи с трапецией, у которой диагонали перпендикулярны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Рис.1 Рис.2

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с = h d = h
sin α sin β

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m = a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m = S
h

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h = sin γ · d 1 d 2 = sin δ · d 1 d 2
a + b a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h = sin γ · d 1 d 2 = sin δ · d 1 d 2
2 m 2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

Читайте также:  Каким утюгом можно гладить без марли
h = 2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h = 2S
m

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 = d 2 + ab — a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 = c 2 + ab — a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S = ( a + b ) · h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d 1 d 2 · sin γ = d 1 d 2 · sin δ
2 2

4. Формула площади через четыре стороны:

S = a + b c 2 — ( ( a — b ) 2 + c 2 — d 2 ) 2
2 2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S = a + b √ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p = a + c + d 1
2

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r = h
2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL = b KN = ML = a TO = OQ = a · b
2 2 a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания , а непараллельные стороны называются боковые стороны .

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны равны , то она называется равнобедренной , или равнобокой .

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ. И ответ: а вот и нет — тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)

Свойства трапеции

Свойства трапеции . Какие они и что же ты должен знать о них?

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке и )

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что и – внутренние односторонние углы при параллельных и и секущей . Поэтому . И точно так же и – внутренние односторонние углы при тех же параллельных и , но секущая теперь – .

Читайте также:  Как вводить символы в стиме

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции .

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

Опять и – параллельные, а диагональ – секущая. Поэтому .

А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники и – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: .

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции ?

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

, то есть
Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

Трапеция, вписанная в окружность.

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

Свойства трапеции

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Первое свойство трапеции

Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна .

Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:

Второе свойство трапеции

Треугольники и подобны по двум углам.
( и – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .

Проведём — среднюю линию в .
Знаем, что и

Что же из всего этого следует?

  1. (так как через точку можно провести лишь одну прямую параллельную , поэтому и – одна прямая )
Читайте также:  Как поменять частоту тока

Четвертое свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
(трапеция же!)
(вписанный четырехугольник)
. Ну, и так же .

Пятое свойство трапеции

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:
1) – точка пересечения продолжений боковых сторон;
2) и – середины оснований;
3) – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть .
Но ведь (так как — параллелограмм) .

ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

  • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°:
  • и
  • Средняя линия трапеции ( ) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: .
  • Средняя линия параллельна основаниям: .
  • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: .
  • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
  • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
    ( и ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: .
  • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: .
  • Равнобедренная (равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны: .

Свойства равнобедренной трапеции:

  • диагонали равны: ;
  • углы при основании равны: ;
  • сумма противолежащих углов равна : .
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: .

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Ссылка на основную публикацию
Как сделать нумерацию страницы в ворде
Microsoft Word — одна из самых часто используемых программ для работы с текстовыми документами. Когда текст слишком большой, для комфортной...
Как сбросить графический ключ на xiaomi
Что такое графический пароль? Графический пароль – аналог обычного пароля, который был создан для удобства ввода на мобильных телефонах с...
Как сбросить защитный код на нокиа
Секретные коды Nokia для сброса, проверки и настроек. На этой странице собраны все полезные секретные и не секретные коды для...
Как сделать обратную матрицу в excel
Приложение Excel выполняет целый ряд вычислений, связанных с матричными данными. Программа обрабатывает их, как диапазон ячеек, применяя к ним формулы...
Adblock detector