Как разложить дробь на сумму простых дробей

Как разложить дробь на сумму простых дробей

Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

где A , M , N , a , p , q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции . После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам

Но об интегралах в другом разделе.

Разложить дробь на простейшие.

Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Выполним деление столбиком (уголком):

Следовательно, исходная дробь примет вид:

Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов.

Во-первых, раскладываем знаменатель на множители.

Здесь все методы хороши – от вынесения за скобки, применения формул сокращенного умножения, до подбора корня и последующего деления столбиком (при знаменателе в виде многочлена с рациональными коэффициентами степени выше второй). Об этом подробнее в разделе теории – разложение многочлена на множители.

В нашем примере все просто – выносим х за скобки.

Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Здесь стоит рассмотреть виды выражений, которые могут быть у Вас в знаменателе.

Если в знаменателе что-то вроде этого , количество линейных множителей роли не играет, (будь их 2 или 22 ), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого типа:

a , b , c и d — числа, A , B , C и D — неопределенные коэффициенты.

Если в знаменателе что-то вроде этого количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого и второго типов:

a , b , c — числа, — неопределенные коэффициенты.

Возьмите на заметку: какая степень – столько и слагаемых.

Если в знаменателе что-то вроде этого количество квадратичных выражений роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего типа:

p , q , r и s — числа, P , Q , R и S — неопределенные коэффициенты.

Если в знаменателе что-то вроде этого количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего и четвертого типов:

p , q , r и s — числа, — неопределенные коэффициенты.

ОБЫЧНО ВСТРЕЧАЕТСЯ КОМБИНАЦИЯ ЭТИХ ВАРИАНТОВ (как правило, довольно простая).

Если собрать все в кучу ,то дробь представится в виде суммы простейших дробей всех четырех типов:

Читайте также:  Javascript в adobe acrobat

Хватит теории, на практике все равно понятнее.

Пришло время вернуться к примеру. Дробь раскладывается в сумму простейших дробей первого и третьего типов с неопределенными коэффициентами A , B и C .

В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х .

То есть, пришли к равенству:

При x отличных от нуля это равенство сводится к равенству двух многочленов

А два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.

В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х .

При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:

В-пятых, решаем полученную систему уравнений любым способом (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры), который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты.

В-шестых, записываем ответ.

Пожалуйста, не ленитесь, проверяйте ответ, приводя к общему знаменателю полученное разложение.

Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом при разложении дроби на простейшие.

Очень удобно использовать метод частных значений, если знаменатель представляет собой произведение линейных множителей, то есть имеет вид схожий с

Рассмотрим на примере, чтобы показать плюсы этого метода.

Разложить дробь на простейшие.

Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то производить деление нам не придется. Переходим к разложению знаменателя на множители.

Для начала выносим х за скобки.

Находим корни квадратного трехчлена (например, по теореме Виета):

Следовательно, квадратный трехчлен можно записать как

То есть, знаменатель примет вид

При данном знаменателе, исходная дробь раскладывается в сумму трех простейших дробей первого типа с неопределенными коэффициентами:

Полученную сумму приводим к общему знаменателю, но в числителе при этом скобки не раскрываем и не приводим подобные при А , В и С (на этом этапе как раз отличие от метода неопределенных коэффициентов):

Таким образом, пришли к равенству:

А теперь, для нахождения неопределенных коэффициентов, начинаем подставлять в полученное равенство «частные значения», при которых знаменатель обращается в ноль, то есть х=0 , х=2 и х=3 для нашего примера.

При х=0 имеем:

При х=2 имеем:

При х=3 имеем:

Как видите, различие метода неопределенных коэффициентов и метода частных значений лишь в способе нахождения неизвестных. Эти методы можно совмещать для упрощения вычислений.

Разложить дробно рациональное выражение на простейшие дроби.

Так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя и знаменатель уже разложен на множители, то исходное выражение представится в виде суммы простейших дробей следующего вида:

Приводим к общему знаменателю:

Приравниваем числители.

Очевидно, что нулями знаменателя являются значения х=1 , х=-1 и х=3 . Используем метод частных значений.

При х=1 имеем:

При х=-1 имеем:

При х=3 имеем:

Осталось найти неизвестные и

Для этого подставляем найденные значения в равенство числителей:

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых при одинаковых степенях х приходим к равенству двух многочленов:

Приравниваем соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях, тем самым составляем систему уравнений для нахождения оставшихся неизвестных и . Получаем систему из пяти уравнений с двумя неизвестными:

Из первого уравнения сразу находим , из второго уравнения

Читайте также:  Как подключить интернет байфлай на компьютере

В итоге получаем разложение на простейшие дроби:

Если бы мы сразу решили применить метод неопределенных коэффициентов, то пришлось бы решать систему пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными. Применение метода частных значений позволило легко отыскать значения трех неизвестных из пяти, что значительно упростило дальнейшее решение.

Рациональной дробью R ( x ) называется дробь вида:

Если n m , тогда дробь называется правильной. Элементарными дробями называют рациональные дроби вида:

, где

n , m — натуральные числа, коэффициенты c , p , q , A , B , C — действительные числа, причём корни полинома x 2 + p ∙ x + q — являются комплексно-сопряжёнными (т.е. ¼ ∙ p 2 − q 0 ).

Если знаменатель Q m ( x ) — разложен в произведение линейных и/или квадратичных сомножителей:

c 1 , c 2 , . c r — действительные корни полинома Q m ( x ) кратности n 1 , n 2 , . n r соответственно, и x 2 + p k ∙ x + q k = ( x − a k ) ∙ ( x − ã k ) , где a k и ã k комплексно-сопряженные корни кратности m k , то исходную дробь можно представить в виде:

Каждому линейному множителю вида , содержащемуся в Q m ( x ) соответствует разложение вида:

Каждому квадратичному множителю вида , содержащемуся в Q m ( x ) соответствует разложение вида:

Наш онлайн сервис позволяет разложить любую (правильную, неправильную) рациональную дробь в сумму элементарных дробей. В случае, если исходная дробь является неправильной, (т.е. если степень полинома в числителе дроби больше или равна степени полинома в знаменателе дроби) автоматически будет произведено деление числителя на знаменатель и выделение из полученного результата правильной дроби. Операция разложения рациональной дроби в сумму простейших дробей используется при нахождении интегралов от рациональных выражений.

Посмотреть пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно здесь .

Пусть у нас имеется правильная рациональная дробь многочленов от переменной x :
,
где Рm ( x ) и Qn ( x ) – многочлены степеней m и n , соответственно, m . Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Qn ( x ) на множители:
Qn ( x ) = s ( x-a ) na ( x-b ) nb . ( x 2 +ex+f ) ne ( x 2 +gx+k ) ng . .
См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>

Далее мы приводим наиболее эффективные методы разложения правильной рациональной дроби на простейшие.

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие следующий:
.
Здесь Ai, Bi, Ei, . – действительные числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно определить.

Например,
.
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

Методы разложения рациональной дроби на простейшие

Сначала мы записываем разложение с неопределенными коэффициентами в общем виде. . Затем освобождаемся от знаменателей дробей, умножая уравнение на знаменатель исходной дроби Qn . В результате получаем уравнение, содержащее и слева и справа многочлены от переменной x . Это уравнение должно выполняться для всех значений x . Далее существует три основных метода определения неопределенных коэффициентов.

1) Можно присвоить переменной x определенные значения. Задавая несколько таких значений, мы получим систему уравнений, из которой можно определить неизвестные коэффициенты Ai, Bi, . .
2) Поскольку полученное уравнение и с лева и справа содержит многочлены, то можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Из полученной системы можно определить неопределенные коэффициенты.
3) Можно продифференцировать уравнение и присвоить переменной x определенные значения.

На практике, удобно комбинировать эти методы. Разберем их применение на конкретных примерах.

Пример

Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.

1. Устанавливаем общий вид разложения.
(1.1) ,
где A, B, C, D, E – коэффициенты, которые нужно определить.

2. Избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим уравнение на знаменатель исходной дроби ( x– 1) 3 ( x– 2)( x– 3) . В результате получаем уравнение:
(1.2)
.

Читайте также:  Как узнать какой процесс занимает порт

3. Подставим в (1.2) x = 1 . Тогда x – 1 = 0 . Остается
.
Отсюда .
Подставим в (1.2) x = 2 . Тогда x – 2 = 0 . Остается
.
Отсюда .
Подставим x = 3 . Тогда x – 3 = 0 . Остается
.
Отсюда .

4. Осталось определить два коэффициента: B и C . Это можно сделать тремя способами.
1) Подставить в формулу (1.2) два определенных значения переменной x . В результате получим систему из двух уравнений, из которой можно определить коэффициенты B и C .
2) Открыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x .
3) Продифференцировать уравнение (1.2) и присвоить переменной x определенное значение.

В нашем случае, удобно применить третий способ. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения (1.2) и подставим x = 1 . При этом замечаем, что члены, содержащие множители ( x– 1) 2 и ( x– 1) 3 дают нуль, поскольку, например,
, при x = 1 .
В произведениях вида ( x– 1) g ( x ) , дифференцировать нужно только первый множитель, поскольку
.
При x = 1 второй член обращается в нуль.

Дифференцируем (1.2) по x и подставляем x = 1 :
;
;
;
3 = –3 A + 2 B ; 2 B = 3 + 3 A = 6 ; B = 3 .

Итак, мы нашли B = 3 . Остается найти коэффициент C . Поскольку при первом дифференцировании мы отбросили некоторые члены, то дифференцировать второй раз уже нельзя. Поэтому применим второй способ. Поскольку нам нужно получить одно уравнение, то нам не нужно находить все члены разложения уравнения (1.2) по степеням x . Мы выбираем самый легкий член разложения – x 4 .

Выпишем еще раз уравнение (1.2):
(1.2)
.
Раскрываем скобки и оставляем только члены вида x 4 .
.
Отсюда 0 = C + D + E , C = – D – E = 6 – 3/2 = 9/2 .

Сделаем проверку. Для этого определим C первым способом. Подставим в (1.2) x = 0 :
0 = 6 A – 6 B + 6 C + 3 D + 2 E ;
;
. Все правильно.

Определение коэффициента при старшей степени 1/(x–a)

В предыдущем примере мы сразу определили коэффициенты у дробей , , , присваивая, в уравнении (1.2), переменной x значения x = 1 , x = 2 и x = 3 . В более общем случае, всегда можно сразу определить коэффициент при старшей степени дроби вида .

То есть если исходная дробь имеет вид:
,
то коэффициент при равен . Таким образом, разложение по степеням начинается с члена .

Поэтому в предыдущем примере мы сразу могли искать разложение в виде:

.

В некоторых простых случаях, можно сразу определить коэффициенты разложения. Например,

.

Пример с комплексными корнями знаменателя

Теперь разберем пример, в котором знаменатель имеет комплексные корни.

Пусть требуется разложить дробь на простейшие:
.

1. Устанавливаем общий вид разложения:
.
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

2. Освобождаемся от знаменателей дробей. Для этого умножаем уравнение на знаменатель исходной дроби :
(2.1) .

3. Заметим, что уравнение x 2 + 1 = 0 имеет комплексный корень x = i , где i – комплексная единица, i 2 = –1 . Подставим в (2.1), x = i . Тогда члены, содержащие множитель x 2 + 1 дают 0 . В результате получаем:
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
–A + B = – 1 , A + B = – 1 .
Складываем уравнения:
2 B = –2 , B = –1 , A = –B –1 = 1 – 1 = 0 .
Итак, мы нашли два коэффициента: А = 0 , B = –1 .

4. Заметим, что x + 1 = 0 при x = –1 . Подставим в (2.1), x = –1 :
;
2 = 4 E , E = 1/2 .

5. Далее удобно подставить в (2.1) два значения переменной x и получить два уравнения, из которых можно определить C и D . Подставим в (2.1) x = 0 :
0 = B + D + E , D = –B – E = 1 – 1/2 = 1/2 .

6. Подставим в (2.1) x = 1 :
0 = 2( A + B ) + 4( C + D ) + 4 E ;
2( C + D ) = –A – B – 2 E = 0 ;
C = –D = –1/2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-04-2015

Ссылка на основную публикацию
Как разблокировать айфон зная apple id
Пользователи популярных смартфонов от Apple часто ставят на гаджет пароль, чтобы повысить безопасность мобильного устройства и избежать неприятностей – кражи,...
Как поставить напоминалку на андроиде
Привет всем. Нужно ли вам напоминать о каких-либо событиях? Я думаю напоминания не помешают никому. В силу своей занятости или...
Как поставить пароль на покупку фильмов ростелеком
Интерактивное ТВ от Ростелеком предлагает абонентам огромное многообразие телеканалов различного содержания. Многие из них совершенно не рассчитаны на младшую аудиторию....
Как разблокировать домофон если отключили
Домофон — вещь нужная и полезная. Установленная в подъезде система отлично защищает жилище обывателей от проникновения посторонних людей. Второе преимущество...
Adblock detector