Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности

Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности

Данный раздел предназначен для тех, кто хорошо разобрался с уроком Несобственные интегралы. Примеры решения, или, по крайне мере, понял бОльшую его часть.

Речь пойдет о несобственных интегралах первого рода с бесконечным нижним пределом:

.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

.

Чем отличается данный интеграл от «обычного» несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом? По технике решения практически ничем. Так же нужно найти первообразную (неопределенный интеграл), так же нужно использовать предел при вычислении интеграла. Отличие состоит в том, что необходимо устремить нижний предел интегрирования к «минус бесконечности»:

.

Из вышесказанного следует очевидная формула для вычисления такого несобственного интеграла:

.

В данном примере, подынтегральная функция непрерывна на и:

,

то есть, несобственный интеграл расходится.

Вот тут, главное, быть аккуратным в знаках и не забывать, что . Нужно внимательно разобраться, что куда стремится.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования

Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:

.

Как его решать? Его нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов:

.

Примечание: вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.

Если обаинтеграла правой части сходятся, то сходится и сам интеграл

Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится и интеграл

.

Пример 9

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Мы специально подобрали простой пример, чтобы проиллюстрировать другой важный момент применения метода.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой.

Согласно правилу, интеграл следует представить в виде суммы интегралов:

Интеграл будет сходиться, если будут сходиться оба интеграла правой части. Проверяем:

Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:

Читайте также:  Как отменить оплату хранилища icloud

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной.

В несобственных интегралах с (двумя) бесконечными пределами, а, значит, симметричными интервалами интегрирования, чётностью пользоваться МОЖНО.Аналогично определенному интегралу, интервал интегрирования можно разделить, а результат – удвоить. То есть, решение допустимо записать короче:

Почему такое возможно?

График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси OY. Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна.

Если же половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться.

Пример 10

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Согласно правилу, интеграл нужно представить в виде суммы двух интегралов:

Проверяем сходимость интегралов правой части:

.

Первый интеграл расходится. Знак «минус» говорит о том, что бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс.

Не нужно проверять сходимость второго интеграла правой части, поскольку для того, чтобы интеграл

сходился, необходимо чтобы сходились обаинтеграла правой части.

Ответ:несобственный интеграл

А сейчас очень важный момент: подынтегральная функция

является нечётной.

В несобственных интегралах с бесконечными пределами (т. е. симметричными интервалами интегрирования) нечётностью пользоваться НЕ СЛЕДУЕТ.

В этом состоит отличие от определенного интеграла. Там всегда можно смело записать:

,

а здесь так поступать – не следует. Почему? Потому что в ряде случаев, как, например, в рассмотренном примере, получится нонсенс (бессмыслица). Если считать, что

,

то интеграл будет сходящимся (поскольку получено конечное число), но в то же время его часть:

– расходится (как мы только что показали в решении). Тонкость же состоит в том, что несобственный интеграл равен своему значению только в предельном смысле. Интеграл

от нечетной функции f(x), в принципе, может стремиться (а не равняться) к нулю, но нельзя сразу записывать, что

.

Всегда представляем интеграл в виде двух интегралови выполняем проверку на сходимость по стандартному алгоритму.

Читайте также:  Как отключить truecaller в wileyfox

Пример 11

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

.

Полное решение и ответ в конце урока.

Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; Нарушение авторского права страницы

Это «родственник» определённого интеграла. …Нормальное такое определение :). И сразу возникает вопрос: чем отличается несобственный интеграл от «собрата»? Он может отличаться пределами интегрирования:
– то есть, один или даже оба предела бесконечны, при этом подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования.

Такие интегралы получили название несобственные интегралы первого рода.

Кроме того, несобственный интеграл может быть «внешне похож» на определённый интеграл и иметь вид . Но есть один нюанс. Подынтегральная функция не определена в точке или . Или на обоих концах. Или даже во внутренних точках отрезка .

Это так называемые несобственные интегралы второго рода.

Что значит решить несобственный интеграл? В отличие от определённого интеграла, тут есть три варианта. Решить несобственный интеграл – это значит найти конечное число, либо получить бесконечность, либо выяснить, что несобственного интеграла не существует.

1) Если несобственный интеграл равен конечному числу, то говорят, что он сходится. Число может быть как положительным, так и отрицательным. Или нулём.

2) Если несобственный интеграл равен бесконечности (со знаком «плюс» или «минус»), то говорят, он расходится.

3) И в ряде случаев несобственного интеграла может вовсе не существовать. Даже если подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования! (вспоминаем, что определённый интеграл при этом условии существует всегда).

Как решить несобственный интеграл? С помощью той же формулы Ньютона-Лейбница. С некоторыми особенностями.

И здесь вы должны понимать и уметь решать несложные пределы функций.

В чём смысл несобственного интеграла? Геометрически – это тоже площадь (если интеграл существует). Но площадь своеобразная. И с этим своеобразием мы познакомимся прямо на следующей странице:

Читайте также:  Как удалить элемент строки в python

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Предел (1) называется несобственным интегралом функции от до бесконечности и обозначается .

Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел (1) равен бесконечности или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяются несобственные интегралы и .

Все эти интегралы называются несобственными интегралами первого рода.

Пример 1

Вычислить .

Согласно таблице интегралов, .

Тогда

Пример 2

Вычислить .

, искомый интеграл расходится.

Пример 3

Вычислить .

Согласно таблице интегралов,

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция имеет бесконечный разрыв в точке , а в остальных точках промежутка непрерывна. Несобственным интегралом функции от до называется предел .

Он обозначается (2).

Если предел существует и конечен, говорят, что интеграл (3) сходится, в противном случае расходится.

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с отрезка , то принимается, что причем предполагается, что оба интеграла в правой части сходятся. Эти интегралы называются несобственными второго рода.

Пример 1

Вычислить .

Интеграл несобственный, так как подынтегральная функция стремится

к при .

при .

Следовательно, искомый интеграл сходится и равен .

Пример 2

Вычислить .

Интеграл – несобственный, так как подынтегральная функция внутри обращается в бесконечность при . Имеем .

По определению несобственного интеграла второго ряда .

Аналогично получаем .

Таким образом .

Пример 3

Вычислить .

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите виды несобственных интегралов первого рода.

2. Какие интегралы называются несобственными второго рода?

3. Каким образом определяется сходимость (расходимость) несобственного интеграла?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 11092 — | 8254 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Знак принадлежности в маткаде
Подведем некоторый итог. Математические выражения содержат, как правило, самые различные, в том числе специфичные символы, набор которых в Mathcad выполняется...
Задача о размене монет
лабораторные работы и задачи по программированию и информатике, егэ по информатике Задача ДП о сдаче минимальным количеством монет Постановка задачи...
Зви 427 инструкция по духовке
Требуется руководство для вашей ЗВИ 427 Кухонная плита? Ниже вы можете просмотреть и загрузить бесплатно руководство в формате PDF. Кроме...
И снова здравствуйте как пишется пунктуация
1 ответ Фраза «и снова здравствуйте» зачастую используется в разговорной речи в ироничном значении «я вернулся», «это опять я». На...
Adblock detector